imagesmetod-lagranga-dlja-reshenija-ekstremalnyh-zadach-dlja-chajnikov-thumb.jpg

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений

Примеры решений. 2) Второй способ основан на использовании знаков дифференциала второго порядка . Если окажется, что в стационарной точке , то функция достигает там максимума, если же – то минимума. Где собраны ещё «цветочки» – ведь рассмотренный метод можно использовать и для решения ЛНДУ высших порядков.

Итак, что же такое условный экстремум? Решение: на первом шаге нужно представить уравнение связи в виде и составить функцию Лагранжа:, где – так называемый множитель Лагранжа. По возможности лучше применять именно этот метод – он прост, и такое решение засчитывают преподаватели (большим плюсом идёт то, что вы показали понимание геометрического смысла задачи). Рассмотренный метод очень хорош, но обладает тем недостатком, что в ряде случаев практически невозможно определить знак 2-го дифференциала (обычно так бывает, если и/или – разных знаков).

Первая трудность, состоит, как правило, в решении системы, а вторая – в проверке достаточного условия экстремума, когда знак дифференциала 2-го порядка оценить крайне трудно. Постарайтесь не только найти решение, но и добросовестно проверить достаточное условие экстремума.

Логика здесь не менее беспощадна =) Условный экстремум функции – это экстремум в обычном понимании этого слова, который достигается при выполнении определённого условия (или условий). Представьте произвольную «косую» плоскость в декартовой системе. Никакого экстремума здесь нет и в помине. Другой эллиптический цилиндр, пересекающий эту плоскость, почти наверняка породит иные значения минимума и максимума.

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений

Рассмотрим эллиптический параболоид, который имеет безусловный минимум в точке . Теперь найдём экстремум при условии. Вершина этой параболы и будет условным минимумом. Вопрос: как найти этот условный экстремум? В результате получена функция одной переменной, задающая параболу, вершина которой «вычисляется» с закрытыми глазами.

Во-первых, далеко не всегда понятна геометрия задачи, а во-вторых, зачастую бывает невыгодно выражать «икс» либо «игрек» из уравнения связи (если вообще есть возможность что-то выразить).

Таким образом, бОльшее значение – есть условный максимум, а меньшее – условный минимум. И вновь настоятельно рекомендую разобраться в геометрической сути заданий, особенно, это касается последнего примера, где аналитическая проверка достаточного условия – не подарок. Вспомните, какую линию 2-го порядка задаёт уравнение , и какую поверхность эта линия порождает в пространстве. Проанализируйте, по какой кривой цилиндр пересечёт плоскость и где на этой кривой будет минимум, а где – максимум.

Требуется найти минимум этой функции, при условии, что объём банки равен . Таким образом, функция Лагранжа получается прямо из словесной формулировки задачи! Сейчас можно записать ответ и его даже с неплохими шансами зачнут, но маленькая проблемка заключается в том, чтобы мы не проверили достаточное условие экстремума. А вдруг в найденной точке функция наоборот – достигает максимального значения?

Кстати, первый способ (см. Пример 7 статьи Экстремальные задачи) с технической точки зрения ничуть не приятнее. Рассмотренные два примера – это самые что ни есть «заезженные» типовики, но время от времени встречаются и более трудные задания. Но вот с дифференциалом 2-го порядка ситуация действительно печальная: очевидно, что смешанные частные производные второго порядка не равны нулю и оценка знака дифференциала затруднена.

Сначала рациональнее найти угловой минор 4-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Интересно отметить, что в рассмотренном примере нам даже не потребовалось находить значение «лямбда». Если с определителями будет совсем туго, возьмите какое-нибудь конкретное и «хорошее» значение параметра. До сих пор нам встречались задания с единственным уравнением связи, но, вообще говоря, условий может быть несколько: два, три и бОльшее количество.

Как видите, трудности могут возникнуть в интегралах и производных, но никак не в самом алгоритме метода вариации произвольных постоянных. Часто приходилось слышать мнение, что метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка – штука не из легких. На практике выбор того или иного пути решения определяется темой, которую вы проходите, и сложностью выбранного метода. Кроме того, по моим наблюдениям, метод вариации произвольных постоянных применяется реже метода замены.

Не проходите мимо: