imagesimejutsja-li-parallelnye-grani-u-pravilnogo-tetraedra-thumb.jpg

Правильный тетраэдр

Через точку A проведем прямую, параллельную BD, и точку ее пересечения с ребром куба обозначим E. Соединим точки E и C отрезком. Каждая грань выпуклого додекаэдра при продолжении образует правильный звездчатый пятиугольник. Таким образом, в сечении куба плоскостью может получиться только тот пятиугольник, у которого имеется две пары параллельных сторон. Теорема. Если плоскость образует с осью конуса угол, равный углу между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается парабола.

Достроим правильный тетраэдр ABCD до параллелепипеда, проведя через его противоположные ребра три пары параллельных плоскостей (рис.2). Тетраэдр — это правильный многогранник (правильная треугольная пирамида) у которой все грани являются правильными треугольниками.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Тетраэдр — это пирамида, в основании которой лежит треугольник. Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями, их стороны — ребрами, а вершины — вершинами тетраэдра.

Площадь, объем, высота, радиус вписанной и описанной окружности и другие формулы для тетраэдра

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника.

4. Тела Платона.Многогранник, все грани которогопредставляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Икосаэдр- состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины(рис.74). Это двенадцать правильных пятиугольных пирамид, основания которых совпадают с гранями додекаэдра.

Рассмотрим вопрос об исследовании и построении сечений многогранников плоскостью. Таким образом, в сечении куба плоскостью можно получить только остроугольный треугольник и нельзя получить прямоугольный или тупоугольный треугольники. В частности, не может получиться правильный пятиугольник. Самостоятельно докажите, что в случае, если точки A, B, C являются серединами ребер, то в сечении получается правильный шестиугольник.

11. Нарисуйте цилиндр и постройте несколько точек эллипса, получающегося в сечении его боковой поверхности плоскостью

Ответ: Правильный шестиугольник. 12. Определите вид сечения правильной треугольной призмы плос­костью, проходящей через сторону нижнего основания и середину скрещи­вающейся с ней стороны верхнего основания. 8. Радиус основания цилиндра равен R.Плоскость сечения боковой поверхности цилиндра составляет с плоскостью основания угол j. Найдите малую и большую оси эллипса.

Докажем, что сумма расстояний от произвольной точки сечения до двух данных то­чек есть величина постоянная

Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. Обычно выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а остальные грани называют боковыми гранями. Площади сечений, параллельных основанию пирамиды, относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

11. Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной пирамиды плоскостью

Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью (рис.67). 2. Призма- многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы.

Гексаэдр- правильный шестигранник (рис. 71). Это куб состоящий из шести равных квадратов

Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческимфилософом Платоном, чем и объясняется их общее название. Октаэдр- правильный восьмигранник (рис.72). 5. Звездчатые формы и соединения тел Платона. Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.

Октаэдр имеет только одну звездчатую форму. Такой звездчатый многогранник в 1619 году описал Кеплер (1571-1630) и назвал его stella octangula — восьмиугольная звезда. Пересекающиеся плоскости граней додекаэдра отделяют от пространства новые «куски», внешние по отношению к додекаэдру.

Выясним, какими могут быть сечения куба плоскостью. Пусть дано изображение куба и три точки A, B, C, принадлежащие ребрам этого куба, выходящим из одной вершины.

Для построения более сложных сечений используют метод «следов», заключающийся в нахождении точки пересечения прямой и плоскости по заданным двум точкам этой прямой и их проекциям на плоскость. 3. Через середину ребра куба, перпендикулярно скрещивающейся с этим ребром диагонали, проведено сечение. 5. Через вершины A, C, D1 куба A…D1 проведено сечение. В каком отношении оно делит диагональ DB1, и какой образует угол с этой диагональю?

Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Он образован продолжением граней звездчатого додекаэдра второго продолжения до их нового пересечения. Здесь мы докажем, что если плоскость сечения составляет некоторый угол с плоскостью основания цилиндра и не пересекает основания, то в сечении будет фигура, ограниченная эллипсом.

Не проходите мимо: