Вторая вариация функционала. Формула для второй вариации в задаче с закрепленными концами. Необходимые условия Лежандра и Якоби

Доказательство. Доказательство для этого общего случая по существу не отличается от изложенного выше, и мы не будем его приводить. Что и требовалось доказать.

Если последовательность имеет Предел, то говорят, что она сходится. В силу этого определения на Предел функций переносятся свойства Предел суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.

В этом случае можно говорить, в частности, о Предел в данном направлении, о Предел по данной кривой, по данной поверхности и т.д. Понятие Предел интегральных сумм может быть введено и с помощью Предел последовательности.

Вторая вариация функционала. Формула для второй вариации в задаче с закрепленными концами. Необходимые условия Лежандра и Якоби

Только после того как это будет сделано, высказанному определению Предел можно будет придать чёткий смысл и оно станет содержательным. Ясно, что всякий сильный экстремум будет в то же время и слабым экстремумом. Замечание. В анализе, помимо условия , рассматривается и другое необходимое условие экстремума, состоящее в том, что второй дифференциал функции должен быть неотрицателен.

Методы и задачи классического вариационного исчисления

По теореме 1 необходимым условием экстремума функционала является равенство . Но в силу леммы 3 из этого равенства вытекает, что . Что и требовалось доказать. Как и для других задач, необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его вариации, вычисленной на экстремали y0(x): dJ(y0)=0.

Экстремумы функции двух и более переменных

Оно является в общем случае уравнением 4-го порядка и дополняется граничными условиями. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи, в которых это уравнение может быть сведено к уравнению первого порядка или даже полностью проинтегрированы.

В решении нет произвольных постоянных и оно может не удовлетворять граничным условиям. Если граничные условия выполняются, то получена экстремаль, если нет, то нет и решений у данной вариационной задачи. Рассмотрим сначала функции , для которых . Тогда, как и в простейшей задаче, из условия и основной формулы для вариации функционала получаем уравнение Эйлера.

На каждом из отрезков и граничные условия состоят в том, что один конец допустимой кривой закреплен, а другой свободен. Действительно, условия Вейерштрасса-Эрдмана просто означают, что канонические переменные , должны быть непрерывны в точке излома. Рассмотрим теперь некоторую произвольную функцию вида и выясним, при каких условиях она будет первым интегралом канонической системы уравнений Эйлера.

Пусть нам дана некоторая система материальных точек с массами и координатами . Будем предполагать при этом, что никаких связей при этом на систему не наложено. В этом случае, как было показано выше, вдоль каждой экстремали, т.е. полная энергия консервативной системы остается при движении постоянной. Величину тде интеграл берется вдоль экстремали, соединяющей точки A и В из G назовем геодезическим расстоянием между этими точками.

Не гладкие экстремали и условия Вейерштрасса-Эрдмана

Предел, одно из основных понятий математики. Функция имеет Предел в некоторой точке, если её Предел слева в этой точке равен её Предел справа. Примером функций, всегда имеющих Предел, являются монотонные функции. В общем же случае стремление к Предел может носить разный, необязательно монотонный характер. Например, функция f (x)= x при х ® 0 стремится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.

Предел интегральных сумм. Ещё одно важное понятие Предел возникает при определении интеграла. Предел интегральных сумм (которые, очевидно, являются функциями, определёнными на множестве Е) по указанному направлению является интеграл.

Различные понятия близости и изучаются, в частности, в топологии. К понятию Предел вплотную подошли ещё древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью исчерпывания метода. Новый этап в развитии понятия Предел наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем математического анализа.

Очень широкий класс задач составляют экстремальные задачи, в которых требуется найти значения параметров или функций, реализующих максимум или минимум некоторой зависящей от них величины. Примеры: решение задач о собственных значениях в теории колебаний и квантовой механике; принципы Гамильтона и Якоби в динамике.

Сводка необходимых и достаточных условий слабого экстремума

Локальный экстремум называется внутренним, если . Если , то экстремум – граничный. Задача нахождения экстремума функции переменных, подчиненных дополнительным условиям связи называется задачей на условный экстремум.

Здесь параметров называются множителями Лагранжа; неизвестных: и находятся из уравнений. Таким образом, можно сказать, что функционалы это функции, в которых роль независимого переменного играют кривые или функции. Пусть — некоторая дифференцируемая на отрезке функция, выражение представляет собой функционал.

Т.е. существует бесконечно много различных функций, принадлежащих одному классу. Элементами линейного нормированного пространства могут быть объекты различной природы: числа, векторы, матрицы, функции и т.д. Пусть в некоторой точке , например , тогда найдется интервал , содержащийся в , в котором . Положим на интервале и вне этого интервала.

Выражение представляет собой главную линейную часть приращения функционала , т.е. вариацию функционала. Задача о брахистохроне была поставлена И.Бернулли в 1696 г. и сыграла важную роль в развитии вариационного исчисления. Если в точке выполнены условия , то в этой точке имеет максимум ( — минимум). Уравнение Эйлера представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. JРасчетная работа 6. Задача вариационного исчисления с ограничениями.

Не проходите мимо: